Inom q-analogteori är q-gamma funktionen en generalisering av den vanliga Gammafunktionen. Den introducerades av F. H. Jackson. Dess definition är
![{\displaystyle \Gamma _{q}(x)=(1-q)^{1-x}\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-q^{n+1}}{1-q^{n+x}}}=(1-q)^{1-x}\,{\frac {(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d313b052e1310ee4ae58f56b6398a00e261561f)
då |q|<1, och
![{\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(q^{-1};q^{-1})_{\infty }}{(q^{-x};q^{-1})_{\infty }}}(q-1)^{1-x}q^{\binom {x}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/100c986bb0a9d46ec6b133019e63e560e2a175a6)
då |q|>1. Här (·;·)∞ är den oändliga q-Pochhammersymbolen. Den satisfierar
![{\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)={\frac {1-q^{x}}{1-q}}\Gamma _{q}(x)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1369d42adac73e85d50ce69ed4e83fe4d9432ce7)
För heltal större än0 är
![{\displaystyle \Gamma _{q}(n)=[n-1]_{q}!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4be916fb8ef9c2bb7a93ee692b3719d096150dbe)
där [·]q! är q-fakulteten.
Grönsvärdet då q närmar sig 1
![{\displaystyle \lim _{q\to 1\pm }\Gamma _{q}(x)=\Gamma (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16534cf0f40d55069dd68dc2992b0e7c37f2cbea)
En q-analog av Stirlings formel för |q|<1 ges av
![{\displaystyle \Gamma _{q}(x)=[2]_{q^{\ }}^{\frac {1}{2}}\Gamma _{q^{2}}\left({\frac {1}{2}}\right)(1-q)^{{\frac {1}{2}}-x}e^{\frac {\theta q^{x}}{1-q-q^{x}}},\quad 0<\theta <1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e9e8d25291b18f7be7dba6c3eb740809d5ca997)
En q-analog av multiplikationsformeln för |q|<1 ges av
![{\displaystyle \Gamma _{q^{n}}\left({\frac {x}{n}}\right)\Gamma _{q^{n}}\left({\frac {x+1}{n}}\right)\cdots \Gamma _{q^{n}}\left({\frac {x+n-1}{n}}\right)=[n]_{q}^{{\frac {1}{2}}-x}\left([2]_{q}\Gamma _{q^{2}}^{2}\left({\frac {1}{2}}\right)\right)^{\frac {n-1}{2}}\Gamma _{q}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a1dca8fdc67944b3be5b715e7d36401358f5ace)
En annan formel är
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma _{q}(x)dx={\frac {\zeta (2)}{\log q}}+\log {\sqrt {\frac {q-1}{\sqrt[{6}]{q}}}}+\log(q^{-1};q^{-1})_{\infty }\quad (q>1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18dd5281744cfa39cf8031d498765542f51ae6b7)
Q-gammafunktionen är relaterad till Jacobis thetafunktioner enligt
![{\displaystyle \left(\Gamma _{q^{2}}(x)\Gamma _{q^{2}}(1-x)\right)^{-1}={\frac {q^{2x(1-x)}}{(q^{-2};q^{-2})_{\infty }^{3}(q^{2}-1)}}\vartheta _{4}\left({\frac {1}{2i}}(1-2x)\log q,{\frac {1}{q}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf7ca89b398877602ecc127dedf4d6645717e0b3)
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, q-gamma function, februari 2014.
Speciella funktioner |
---|
| Gamma- och relaterade funktioner | | | Zeta- och L-funktioner | | | Besselfunktioner och relaterade funktioner | | | Elliptiska funktioner och thetafunktioner | | | Hypergeometriska funktioner | | | Ortogonala polynom | | | Andra funktioner | |
|